🔹 جزوه مینیاتوری عملگرها در مکانیک کوانتومی

بخش ۱: فضای ریاضی مکانیک کوانتومی — فضای هیلبرت

در مکانیک کوانتومی، هر حالت سیستم با یک بردار در فضای هیلبرت $\mathcal{H}$

نمایش داده می‌شود:

• عناصر: بردارهای حالت $|\psi\rangle$ (نوتیشن دیراک)
• ضرب داخلی: $\langle \phi | \psi \rangle \in \mathbb{C}$
  
• عملگرها: نگاشت‌های خطی $\hat{A}: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$

فضای هیلبرت، بستری برای تعریف بردارها، عملگرها و مقادیر احتمال در مکانیک کوانتومی است.

---

بخش ۲: عملگرها — مفهوم و نقش

عملگر چیست؟

\( \)

عملگر \( \hat{A} \) روی بردار حالت \( |\psi\rangle \) اعمال می‌شود و بردار جدیدی تولید می‌کند: \( \hat{A} |\psi\rangle = |\phi\rangle \)

اهمیت عملگرها:

• نتایج اندازه‌گیری یک کمیت فیزیکی، مقادیر ویژه (eigenvalues) عملگر متناظر است.
• بردارهای ویژه (eigenvectors) نشان‌دهنده حالات قطعی هستند.
• تکامل زمانی با هامیلتونی $\hat{H}$ و معادله شرودینگر توصیف می‌شود.

---

بخش ۳: همیلتونی نوسانگر هماهنگ

همیلتونی نوسانگر هماهنگ:

$$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{x}^2$$

• اعمال روی تابع موج:

$$\hat{H} \psi(x) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right] \psi(x)$$

• خروجی: تابع موج جدید در همان فضای $L^2(\mathbb{R})$
  

---

بخش ۴: عملگرهای خلق و فنا

• تعریف:

$$\hat{a} = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} + \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right), \quad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{x} – \frac{i}{m\omega}\hat{p}\right)$$

• ویژگی‌ها:
  • $\hat{a}$ : کاهش سطح انرژی (فنا)
  • $\hat{a}^\dagger$ : افزایش سطح انرژی (خلق)
  • همیلتونی: $\hat{H} = \hbar \omega (\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2})$
  • شمارنده کوانتا: $\hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a}$

---

<p>این بخش رایگان است و همه می‌توانند ببینند...</p>

[restrict] 
<p>این بخش فقط برای اعضای پولی قابل نمایش است.</p>
[/restrict]

بخش ۵: جبر عملگرها و روابط جابجایی

• جابجایی مکان و تکانه:

$$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$$

• جابجایی خلق و فنا:

$$[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1$$

• اگر
  
  $[\hat{A}, \hat{B}] = 0$
  

  ، دو کمیت قابل اندازه‌گیری همزمان هستند.

---

بخش ۶: تقارن‌ها و عملگرهای معکوس

• تقارن مکانی (پاریته):
  
  
  $\hat{P} \psi(x) = \psi(-x)$
  

  ,

  
  $[\hat{H}, \hat{P}] = 0$
  
• تقارن زمانی: معکوس زمان:
  
  $\hat{T} \psi(x,t) = \psi^*(x,-t)$
  
• عملگر منها:
  
  
  $(\hat{A} – \hat{B}) |\psi\rangle = \hat{A}|\psi\rangle – \hat{B}|\psi\rangle$
  

---

بخش ۷: جدول جامع عملگرها

عملگر	نماد	تعریف / فرمول	دامنه اثر	نوع	ویژگی‌ها	روابط جابجایی
موقعیت	$\hat{x}$	$\hat{x} \psi(x) = x \psi(x)$	$\psi(x)$	هرمیتی	نماینده موقعیت	$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$
تکانه	$\hat{p}$	$-i\hbar \frac{d}{dx}$	$\psi(x)$	هرمیتی	نماینده تکانه	—
همیلتونی	$\hat{H}$	$\frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 \hat{x}^2$	$\psi(x)$	هرمیتی	انرژی کل	$[\hat{H}, \hat{a}] = -\hbar\omega \hat{a}$
فنا	$\hat{a}$	$\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(\hat{x} + i/(m\omega)\hat{p})$	$\psi_n(x)$	غیرهرمیتی	کاهش انرژی	$[\hat{a}, \hat{a}^\dagger]=1$
خلق	$\hat{a}^\dagger$	مزدوج $\hat{a}$	$\psi_n(x)$	غیرهرمیتی	افزایش انرژی	—
شمارنده کوانتوم	$\hat{N}$	$\hat{a}^\dagger \hat{a}$	$\psi_n(x)$	هرمیتی	تعداد کوانتا	$[\hat{N}, \hat{a}] = -\hat{a}$
پاریته	$\hat{P}$	$\psi(-x)$	$\psi(x)$	هرمیتی، یکانی	تقارن مرکزی	$[\hat{H}, \hat{P}]=0$
جابجایی	$\hat{T}_a$	$\psi(x-a)$	$\psi(x)$	یکانی	انتقال مکانی	—
معکوس زمان	$\hat{T}$	$\psi^*(x,-t)$	$\psi(x,t)$	ضدخطی	تقارن زمانی	—

---

بخش ۸: منطق و جبر مکانیک کوانتومی

• جمع و ضرب عملگرها، جابجایی، پروژکتورها و یکانی‌ها ابزار تحلیل سیستم‌های کوانتومی هستند.
• معادله شرودینگر:

$$i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle$$

• مقادیر انتظار:
  
  
  $\langle A \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle$
  

---

بخش ۹: مثال کاربردی

حالت ویژه انرژی

$|n\rangle$

:

$$\hat{H}|n\rangle = \hbar\omega(n+1/2)|n\rangle$$

$$\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle, \quad \hat{a}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle$$

نتایج:

• 
  
  $\hat{a}$
  

  → کاهش یک کوانتوم

• 
  
  $\hat{a}^\dagger$
  

  → افزایش یک کوانتوم

---

بخش ۱۰: جمع‌بندی

• عملگرها نماینده کمیت‌های فیزیکی هستند.
• فضای هیلبرت بستر تحلیلی و ریاضی سیستم‌های کوانتومی است.
• همیلتونی انرژی را مشخص می‌کند و تکامل زمانی را تعیین می‌کند.
• تقارن‌ها و جبر عملگرها امکان تحلیل دقیق سیستم‌ها و حل نوسانگر هماهنگ را فراهم می‌آورند.

---

بخش ۱۱: منابع پیشنهادی

• Introduction to Quantum Mechanics — David J. Griffiths
• Principles of Quantum Mechanics — R. Shankar
• مفاهیم ریاضی: فضای هیلبرت، عملگرهای هرمیتی، طیف عملگرها