شبیه‌سازی عددی نوسانگر کوانتومی(ادامه ی مقاله تکمیلی)

مثالی شبیه‌سازی عددی ساده از نوسانگر کوانتومی با دو زمان درونی (t₁ و t₂) در چارچوب نظریه SET را با Python آورده می‌شود.

کد طوری نوشته شده که قابل تعمیم به اسلایدر شود:

• دانشجو بتواند مستقیم آن را در Colab یا Jupyter اجرا کند.
• خروجی شامل نمودار تحول تابع موج در دو زمان باشد.
• با تغییر پارامترها ($\alpha_1, \alpha_2$) بتوان رفتارهای متفاوت دید.

---

کد Python (Colab-ready) (کولب را در گوگل فراخوانی کنید و اجرای کد را به وی بسپارید)

# نوسانگر کوانتومی با دو زمان درونی - نسخه دانشجویی
# Theory: Systemic Evolutionary Theory (SET) - Quantum Time Example

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# -----------------------------
# پارامترهای پایه
# -----------------------------
x_min, x_max, N = -5, 5, 400     # محدوده و تعداد نقاط فضایی
x = np.linspace(x_min, x_max, N) # شبکه فضایی
dx = x[1] - x[0]

m, omega, hbar = 1.0, 1.0, 1.0   # جرم، فرکانس، ثابت پلانک

# -----------------------------
# تابع موج اولیه (گوسی)
# -----------------------------
psi0 = (1/np.pi**0.25) * np.exp(-x**2/2)

# -----------------------------
# زمان‌های درونی
# -----------------------------
t1 = np.linspace(0, 10, 200)   # زمان اول (نوسان درونی)
t2 = np.linspace(0, 10, 200)   # زمان دوم (محیط/اندازه‌گیری)

alpha1, alpha2 = 0.5, 0.5      # وزن هر زمان

# -----------------------------
# انرژی و حالت پایه
# -----------------------------
E0 = 0.5 * hbar * omega   # انرژی حالت پایه

# -----------------------------
# محاسبه تحول دوبعدی ψ(x,t1,t2)
# -----------------------------
psi_t = np.zeros((len(t1), len(t2), len(x)), dtype=complex)

for i, t1i in enumerate(t1):
    for j, t2j in enumerate(t2):
        phase = np.exp(-1j * (alpha1*t1i + alpha2*t2j) * E0 / hbar)
        psi_t[i, j, :] = psi0 * phase

# -----------------------------
# ترسیم نمونه‌ای از برش‌ها
# -----------------------------
fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 4))

# فقط |ψ|^2 رسم می‌شود
axs[0].plot(x, np.abs(psi_t[50,0,:])**2, label="t1=%.2f, t2=0" % t1[50])
axs[0].set_title("Evolution along t1 only")
axs[0].set_xlabel("x"); axs[0].set_ylabel("|ψ|^2")

axs[1].plot(x, np.abs(psi_t[0,50,:])**2, label="t1=0, t2=%.2f" % t2[50])
axs[1].set_title("Evolution along t2 only")
axs[1].set_xlabel("x")

axs[2].plot(x, np.abs(psi_t[50,50,:])**2, label="t1=%.2f, t2=%.2f" % (t1[50],t2[50]))
axs[2].set_title("Evolution along both t1 & t2")
axs[2].set_xlabel("x")

for ax in axs:
    ax.legend()
    ax.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

---

توضیح برای دانشجو:

• نمودار اول: تحول فقط در زمان داخلی
  
  $t_1$
  

  .

• نمودار دوم: تحول فقط در زمان
  
  $t_2$
  

  .

• نمودار سوم: ترکیب هر دو زمان.

اینجا چون حالت پایه انتخاب شده، تغییر فاز است و تابع موج ثابت می‌ماند (یعنی پدیده‌ی «پارادوکس نبودن» دیده می‌شود). اگر حالت برانگیخته انتخاب شود، beat و تداخل آشکار می‌شود.